食塩水の問題は、公式で解こうとすると式が長くなります。食塩の重さを2つ求めて、足して、全体の重さでわって、100をかける。途中で数字を取り違えると最後まで気づけません。
てんびん図を使うと、この計算がほぼ暗算になります。しかも混ぜる問題、水を足す問題、何g混ぜるかを逆算する問題が、すべて同じ図で処理できます。
ただ、最初の説明でつまずく子が多い。うでの長さと重さが逆になる理屈が飲み込めないからです。ここを図で確認しながら進めます。
てんびん図の3つの約束
約束1 横の棒は濃度のものさし
棒の上に濃度が並びます。左に薄いほう、右に濃いほう。棒の長さは濃度の差を表していて、食塩水の量とは関係ありません。ここを混同すると最後まで解けません。
約束2 ぶら下がるおもりが食塩水の重さ
200gの食塩水なら200gのおもり。棒の両端にぶら下げます。何％かではなく、何グラムあるかをここに書きます。
約束3 うでの長さの比は、おもりの重さの逆比
重いほうが支点に近く、軽いほうが支点から遠い。シーソーで体重の重い人が真ん中に寄るのと同じです。この逆になる感覚が最大の関門なので、後で実例で確認します。
2つの食塩水を混ぜる
問題1
3％の食塩水200gと、8％の食塩水300gを混ぜます。できあがる食塩水は何％ですか。
図1 3％200gと8％300gのてんびん
うで 3
うで 2
3％
6％
8％
200g
300g
ここでつり合う
おもりの比 200：300 ＝ 2：3 → うでの比 3：2
3％から8％までの 5 を 3：2 に分けて、3＋3 ＝ 6％
重い300gのほうが支点に近い。軽い200gのほうが支点から遠い。だからうでの比は2：3ではなく3：2になる
順番に追います。おもりは200gと300gなので、比は2：3。うではその逆で3：2です。
3％から8％までの差は5。これを3：2に分けると、3と2になります。左端の3％から3つ分進んだところが支点なので、3＋3＝6％。これが答えです。
式で確かめておきましょう。食塩は200×0.03＝6gと300×0.08＝24gで合計30g。全体は500g。30÷500＝0.06で6％。てんびん図と一致します。
水を加える問題
ここがてんびん図の便利なところです。水を加える問題も、まったく同じ図で解けます。
コツはひとつ。水は0％の食塩水として扱うことです。食塩が入っていないので0％。これだけで混ぜる問題と同じ形になります。
問題2
10％の食塩水300gに、水を100g加えます。何％の食塩水になりますか。
図2 水を0％として置いたてんびん
うで 3
1
0％
7.5％
10％
100g
300g
加える水
もとの食塩水
おもりの比 100：300 ＝ 1：3 → うでの比 3：1 → 0＋7.5 ＝ 7.5％
水100gを左端の0％に置くだけ。重い300gが支点に近いので、答えは10％寄りの7.5％になる
水を蒸発させる問題も同じです。0％の水を取り除くと考えて、逆向きに棒をのばします。蒸発は苦手にする子が多い単元ですが、てんびん図なら加えるときと同じ形で処理できます。
何対何で混ぜるかを逆算する
濃度が分かっていて量を求める問題も、同じ図の読み方を逆にするだけです。
問題3
5％の食塩水と12％の食塩水を混ぜて、8％の食塩水を作ります。何対何の割合で混ぜればよいですか。
| 手順 | やること |
|---|---|
| 1 | 左のうでを出す。5から8までなので 3 |
| 2 | 右のうでを出す。8から12までなので 4 |
| 3 | うでの比は 3：4。おもりはその逆なので 4：3 |
| 4 | 答えは5％を4、12％を3の割合で混ぜる |
確かめます。4：3で混ぜるので、たとえば400gと300g。食塩は400×0.05＝20gと300×0.12＝36gで56g。全体700g。56÷700＝0.08で8％。合っています。
子どもがつまずく3か所
うでと重さの比を逆にしてしまう
最大の関門です。シーソーで説明してください。体重の重い人が真ん中に寄って、軽い人が端に座る。あの形と同じだと分かれば納得します。図1で、300gのほうが支点に近いことを指で確認させてください。
支点の位置を左端から数えない
うでの比が3：2と出たあと、いきなり答えを書こうとして間違えます。左端の濃度に左のうでを足す。この一手を省かせないでください。図の上で矢印を引かせるのが確実です。
水を0％と置く発想が出ない
水には食塩が入っていないから0％。言われれば当たり前ですが、自分では思いつきません。一度教えたら、次から水が出てくる問題のたびに「水は何％だった」と聞いてください。
家庭で使える声かけ
どっちのおもりが重い
先に重さを比べさせます。ここが出発点です
重いほうは支点に近い、遠い、どっちだと思う
シーソーを思い出させます。ここを口で言えれば逆比は定着します
左のはしの濃度は何％
支点の位置を数え始める起点の確認です
出た答えは、2つの濃度のあいだに入っている
最後の確認。範囲の外に出ていたら必ずどこかで間違えています
最後の確認は習慣にさせてください。3％と8％を混ぜた答えが2％や9％になることはありません。検算しなくても、範囲を見るだけで間違いの半分は防げます。
よくある間違いと対処
濃度をおもりに書いてしまう 棒の上が濃度、ぶら下がるのが重さです。図を描くとき、先に棒の上を書き込ませると混ざりません
食塩を加える問題で0％と置く 加えるのが食塩そのものなら100％です。水と食塩を取り違えないよう、問題文に印をつけさせてください
3種類を一度に混ぜようとする てんびんは2つずつです。まず2つを混ぜて答えを出し、それと3つ目でもう一度てんびんを描きます
面積図との使い分け
食塩水は面積図でも解けます。横が食塩水の重さ、縦が濃度、面積が食塩の重さという形です。つるかめ算で使った図と同じ構造なので、そちらに慣れている子は面積図から入っても構いません。
ただ、計算の速さではてんびん図が上です。とくに何対何で混ぜるかを聞かれる問題では、うでの長さを見るだけで答えが出ます。両方描けるようにしておいて、問題によって選べるのが理想です。塾によってどちらを主に教えるかが違うので、通っている塾のやり方に合わせてください。
学年ごとの進め方
小4から小5前半
濃度の意味と、食塩の重さを求める計算まで。食塩水100gに食塩が3g入っていたら3％。ここが曖昧なままてんびん図に進んでも身につきません
小5後半
この記事の段階です。逆比を習ったあとに入ると理解が早い。混ぜる、水を足す、逆算の3パターンを一通り触れておきたい時期です
小6
3種類の混合、一部を取り出して入れかえる問題、食塩を加える問題へ。どれも2つずつのてんびんに分解すれば処理できます
INSPIRE ACADEMYでの濃度の指導
濃度は、解き方を1つしか持っていない子が最も苦しむ単元です。てんびん図だけ、あるいは公式だけで押し切ろうとすると、入試の複雑な設定で止まります。
当塾では、同じ問題を2通りで解かせることがあります。てんびん図で出した答えを式で確かめる。この往復をしておくと、図の意味が腑に落ちて、応用問題でも図を使う判断ができるようになります。通われている塾で習った解き方を土台にして、足りない部分を補う形で進めます。
まとめ
てんびん図の約束は3つ。横の棒は濃度のものさし、ぶら下がるおもりは食塩水の重さ、うでの長さの比は重さの逆比です。
3％200gと8％300gなら、おもりの比2：3の逆でうでは3：2。5を3：2に分けて3＋3＝6％。水を足す問題は、水を0％として左端に置けば同じ形で解けます。
聞くべき一問は「重いほうは支点に近い、遠い、どっち」です。シーソーを思い浮かべて近いと答えられれば、この単元は越えられます。