内容確認日：2026年10月9日／対象：場合の数を学ぶ小5を中心とした小学生の保護者

場合の数で2で割るのは、同じものをちょうど2回ずつ数えているときです。「2人を選ぶから割る」と覚えると、別の問題で迷います。先に確かめたいのは、順番を逆にしたものを同じ一つとして扱うかどうか。

昨日は割らずに正解したのに、今日は割らないと不正解。「問題をよく読んで」と言われても、子どもには見る場所が分かりません。ここでは同じ4人を使い、問題の何が変わると答えが変わるのかを比べます。

同じ4人でも答えが変わる二つの問題

登場するのは、あき・いお・うみ・えまの4人。まず「この中から代表を2人選ぶ」とします。代表の2人に役割の違いはなく、選ばれた順番も区別しない問題です。

あきといおを選んでも、いおとあきを選んでも、できあがる代表は同じ2人になる。名前を書いた順番が変わっただけで、新しい組が増えたわけではありません。

では「司会を1人、記録係を1人決める。同じ人は兼任できない」ならどうでしょう。あきが司会でいおが記録係の場合と、その逆では仕事内容が変わります。こちらは別々の決め方として数えます。

保護者が聞くなら、「あきといおを入れ替えたら、何が変わる？」が使えます。「選ぶ問題か、並べる問題か」と分類名を答えさせるより、具体的な2人で違いを説明してもらうほうが確認しやすい。

問題文に「選ぶ」とあっても、会長と副会長を選ぶなら役割を区別します。動詞だけを目印にせず、できあがった一つの結果が何を表すかを読み取ることが必要です。

12通りを6組に直す理由

代表選びを、いったん順番を付けて数えます。最初の人は4人から選べる。次は同じ人を選べないので残り3人。4×3＝12通りになりますが、この12には逆順の組も含まれます。

下の表では、最初に選んだ人を縦、次に選んだ人を横に置きました。「あき・いお」と「いお・あき」のように、同じ2人の組が表の両側に一つずつ現れます。

12通りのうち、どの組も2回ずつ数えている。だから12÷2＝6組に直します。2で割る理由は「代表が2人だから」ではなく、一つの組に二つの書き方があるからです。

係決めでは、この表の縦を司会、横を記録係として読みます。白いマスも金色とは別の役割分担なので残り、答えは12通り。同じ表でも、何を数える問題なのかによって残すマスが変わります。

最初から重複を作らない書き出し方

代表選びは、最初から同じ組を書かずに数えても解けます。あきと組む相手は、いお・うみ・えまの3人。次にいおから始めるときは、あきとの組がすでにあるので、うみ・えまの2人だけを残します。

うみから始めるときは、えまとの1組が残る。えまから始める新しい組はもうありません。3＋2＋1＝6組。この数え方は初めから重複を除いているので、最後にもう一度2で割ってはいけません。

子どもが6組を書き出した後に3組と答えたら、「割り算が苦手」とは限りません。「組み合わせなら2で割る」という手順だけを覚えている可能性があります。書いたものと式が対応しているかを見ます。

「この6組の中に、同じ2人がもう一度出てくる？」と聞き、一組ずつ確かめます。重複がないと分かれば、ここで割る必要がないことを自分で説明できます。

樹形図で解いている場合も考え方は変わりません。「あきからいおへ進む枝」と「いおからあきへ進む枝」は、代表選びでは同じ組です。枝の先を数え終わったら、それぞれが誰と誰の組なのかを読み上げます。

紙に書く作業にはどうしても順番が生まれます。でも、書いた順番を問題の答えでも区別するとは限りません。「書く順番」と「問題が区別している順番」を分けると、樹形図を使う理由も整理できます。

答案から分ける三つのつまずき

場合の数で答えが合わないと、保護者には「数え方が雑」「また同じミス」に見えることがあります。ただ、数え漏れと重複と条件の読み違いでは、戻る場所が違います。

講師が確認したいのは、答えだけでなく最初に書いた一組です。それを何の一例として書いたのか、次の組をどう決めたのか。途中をたどると、計算に入る前の判断を確かめられます。

表を使えば解けるのに白紙では止まる場合は、数え方ではなく整理の始め方が課題かもしれません。最初は保護者が表の縦横の名前だけ書き、慣れたら名前を書くところから本人に任せます。

逆に、表は作れていて一か所だけ抜けるなら、初めから全部説明し直す必要はありません。終えた行に印を付けるなど、確認の手順を足します。手助けは、止まった段階に合わせて変えられます。

4×4＝16と書いた場合は、重複より先に「同じ人を二度選んでよいか」を確かめます。あきが最初に選ばれた後、次の候補にあきが残っていないか。問題の条件と表の「不可」のマスを結び付けます。

ここで保護者が先に「残りは3人」と言うと、本人が条件に気づいたか分かりません。「最初にあきを選んだとして、次に選べる人を指して」と頼みます。言葉で説明しにくい子でも、指さしなら判断を示せます。

条件を変えて確かめる三つの練習

説明の直後に6と答えられても、考え方を使えるかはまだ分かりません。次は、登場するものや条件を少し変えます。以下はすべて説明用に作成した問題で、特定の学校の過去問ではありません。

練習1　5人から代表を2人選ぶ

役割や選ばれた順番を区別しないなら、5×4÷2＝10組。4＋3＋2＋1＝10組でも正解です。二つの式のどちらを使ったかより、同じ組を二度数えたかどうかを説明できることが大切です。

練習2　4枚のカードから2桁の整数を作る

1・2・3・4のカードが1枚ずつあり、異なる2枚を使います。12と21は別の整数なので、4×3＝12個。人から数字に変わっても、入れ替えた結果を区別するかという判断は同じです。

練習3　4人から代表を3人選ぶ

順番も役割も区別しません。この場合は、選ばない1人を決めると代表3人が決まり、答えは4組です。「選ぶ問題ならいつでも2で割る」という覚え方が通用しないことも確認できます。

順番を付けて数えると4×3×2＝24通りですが、同じ3人には6通りの並び方があります。そのため24÷6＝4組。まだ難しければ、まず一組の3人だけを並べ替え、六つの書き方を実際に作ってみます。

家庭で全問を一度に扱う必要はありません。本人が迷った問題で止め、「同じものを何回数えた？」に答えられるところまで戻る。人数を増やして計算量を足すより、数えているものを説明する練習を優先します。

テスト全体の復習量にも困っている場合は、小4・小5の算数でテスト直しの範囲を決める方法も参考になります。今回の単元では、同じ誤りを繰り返した一問から確認できます。

家庭で説明しきれないときの算数相談

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相談の際は、答えを書き直す前のノートがあると、本人の数え方を共有できます。集団塾の宿題で止まった問題も含め、何を理解できていて、どの段階で助けが必要なのかをお聞かせください。

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